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By Prof. Dr. Konrad Königsberger (auth.)

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Die erste Forderung verlangt z' = az mit einer reellen Zahl a > 0; die zweite sodann a\z\2 = 1. Wegen \Z\2 = zz ist also z' = ~. Wir erhalten damit: Die Inversion C' -+ C', z f-t ! , ist z z zusammengesetzt aus der Spiegelung an der l-Sphiire und der Spiegelung an der reellen Achse. 3 Algebraische Gleichungen in CC Die Einfiihrung der komplexen Zahlen ermoglicht nicht nur die Losbarkeit der Gleichung z2 + 1 = 0, sondern sogar aller algebraischen Gleichungen. Wir behandeln hier quadratische Gleichungen.

4 Die Unmoglichkeit einer Anordnung von 0 fiir jede komplexe Zahl z # 0 und damit 0 < i2 + 12 = 0 im Widerspruch zu (AI). Da zwar der Unterk6rper 1R von C angeordnet ist, C selbst aber nicht, vereinbaren wir, da£ Formeln wie a > 0 und a < 0 stets a E 1R voraussetzen. Die Mathematiker des 17. und 18. J ahrhunderts unterstellten unreflektiert die Moglichkeit eines Grof6envergleichs der komplexen Zahlen.

D s: s: Folgerung: Liegen fast aile Glieder einer konvergenten Folge (an) in einem abgeschlossenen Intervall [A; Bl, dann auch ihr Grenzwert. Ahnlich wie III zeigt man das folgende nutzliehe Konvergenzkriterium: Einschlief&ungsregel: Zur Folge (an) gebe es konvergente Folgen (An) und (Bn) mit An an Bn fur fast aile n und mit lim An = lim Bn. Dann konvergiert auch (an), und es gilt lim an = lim An. s: s: Beispiele: 1. Fur jedes (rationale) s > 0 gilt ~ -+ 1. Mit einer naturliehen Zahl k 2: s gilt die Einschlief&ung 1 Aus dieser folgt die Behauptung wegen ~ -+ 1.

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